已知函数f（x）=lnx，（1）若直线y=kx+1与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若函数g(x)=f(eex)，已知函数f（x）=lnx，（1）若直线y=kx+1与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若函

Question

已知函数f（x）=lnx，（1）若直线y=kx+1与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若函数g(x)=f(eex)，
已知函数f（x）=lnx，
（1）若直线y=kx+1与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；
（2）若函数g(x)=f(eex)，a＜b，试证明：(g(a)+g(b))/(2)＞(g(b)-g(a))/(b-a)．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx，∴f′(x)=(1)/(x)(x＞0)（1分）
设切点坐标（x₀，y₀），
∵直线y=kx+1与函数f（x）的图象相切，
∴f′(x0)=(1)/(x0)=k(x0＞0)可得x0=(1)/(k)，
代入y=kx+1解出y₀=2（3分）
将切点坐标代入f（x）=lnx得f((1)/(k))=ln(1)/(k)=2，
∴k=(1)/(e2)（5分）
（2）证明：g(x)=f(eex)=lneex=ex（6分）
∴(g(a)+g(b))/(2)-(g(b)-g(a))/(b-a)=(ea+eb)/(2)-(eb-ea)/(b-a)=((b-a)(ea+eb)-2(eb-ea))/(2(b-a))
=([(b-a)(1+eb-a)-2(eb-a-1)]e-a)/(2(b-a))=([(b-a)e(b-a)-2e(b-a)+(b-a)+2]e-a)/(2(b-a))（7分）
∵b＞a且e-a＞0∴(e-a)/(2(b-a))＞0（8分）
设h（t）=te^t-2e^t+t+2（t＞0），∴h'（t）=te^t-e^t+1（t＞0）（9分）
设m（t）=te^t-e^t+1（t＞0），
∴m'（t）=te^t＞0（t＞0）（10分）
∴m（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，
又m（0）=0，∴m（t）＞0，即h'（t）＞0在t∈（0，+∞）恒成立．
∴h（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴h（t）＞0在t∈（0，+∞）恒成立．
∴([(b-a)e(b-a)-2e(b-a)+(b-a)+2]e-a)/(2(b-a))＞0，
∴(g(a)+g(b))/(2)-(g(b)-g(a))/(b-a)＞0
即a＜b时，(g(a)+g(b))/(2)＞(g(b)-g(a))/(b-a)（12分）