如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD,角C=60度,AE垂直于BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.（1）求证：四边形AEFD是平行四边形.（2)设AE=x,四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数关系式.

Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD,角C=60度,AE垂直于BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形.
（2)设AE=x,四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数关系式.

Answer 1

（1）∵AB=DC=AD,∠C=60°
∴∠A=120°
∵AD=AB,AE⊥BD
∴BE=DE ,∠EAD=60° ,∠ADE=∠ABE=30°
∴∠DBC=30°
∵F是CD中点∴DF=CF
∴△DEF~△BCD
∴∠DEF=∠DBC=30° ,即∠DEF=∠ADE=30°∴AD//EF
∴∠DFE=∠DCB=60°
∴∠EDF=90°即∠EDF=∠AED=90°∴AE//DF
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）设DG交EF与O,∵四边形AEFD是平行四边形∴EF=AD=AE/SIN30°=2AE=2x
DG=CD×SIN60°=AD×SIN60°=√3x
S四边形DEGF的面积y=1/2×EO×DG+1/2×FO×DG
=1/2*EF*DG=1/2×AD×DG=1/2×2x×√3x=√3x²