已知函数f（x）=（4的x次方+k乘2的x次方+1）/（4的x次方+2的x次方+1）,若对任意的实数x1,x2,x3不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立,则实数k的取值范围

Question

已知函数f（x）=（4的x次方+k乘2的x次方+1）/（4的x次方+2的x次方+1）,若对任意的实数x1,x2,x3不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立,则实数k的取值范围

Answer 1

解:∵不等式f(x1)+f(x2)＞f(x3)对任意x1,x2,x3恒成立
∴2f(x)min＞f(x)max
此时只需求f(x)max,f(x)min
2^x=t∈(0,+∞)
f(x)=(t²+kt+1)/(t²+t+1)
=[(t²+t+1)+(k-1)t]/(t²+kt+1)
=1+(k-1)t/(t²+t+1)
=1+(k-1)/(t+1/t+1)
1º; k＞1
t+1/t∈[2,+∞)
f(x)∈(1,(k+2)/3] (t+1/t趋近于正无穷,f（x）趋近于1）
∵2f(x)min＞f(x)max
∴2≥（k+2)/3 (因为1取不到,所以此处用≥）
解得 k≤4
∴1＜k≤4
2º; k=1
2＞1恒成立
3º; k＜1
f(x)∈[k+2)/3,1）
∵2f(x)min＞f(x)max
∴ 2(k+2)/3≥1 (因为1取不到,所以此处用≥）
解得k≥-1/2
∴-1/2≤k＜1
综上所述
-1/2≤k≤4

提示：
分子为一次分母为二次的情况通常,分子分母同除以未知量,但要考虑未知量等于0的情况

由于刚看见这题目,所以答的时间长了,抱歉!
不求采纳,能帮助你我就很高兴了.如果解答有误,希望你提出来.