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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的a,b属于R都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)判断它的奇偶性
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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的a,b属于R都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)判断它的奇偶性
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答案和解析
f(ab)=f(-a*-b)=-af(-b)-bf(-a)
所以af(b)+bf(a)=-af(-b)-bf(-a)
所以a[f(b)+f(-b)]=-b[f(a)+f(-a)]
f(-ab)=-af(b)+bf(-a)
f(-ab)=af(-b)-bf(a)
所以-af(b)+bf(-a)=af(-b)-bf(a)
所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]
所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]=0
所以f(x)+f(-x)=0
奇函数
所以af(b)+bf(a)=-af(-b)-bf(-a)
所以a[f(b)+f(-b)]=-b[f(a)+f(-a)]
f(-ab)=-af(b)+bf(-a)
f(-ab)=af(-b)-bf(a)
所以-af(b)+bf(-a)=af(-b)-bf(a)
所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]
所以a[f(b)+f(-b)]=b[f(a)+f(-a)]=0
所以f(x)+f(-x)=0
奇函数
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