已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+2是奇函数．（1）求b的值；（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Question

已知定义域为R的函数f（x）=(−2x+b)/(2x+1+2)是奇函数．
（1）求b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵定义域为R的函数f（x）=(−2x+b)/(2x+1+2)是奇函数．
∴f（0）=(−1+b)/(4)=0，解得b=1．
（2）由（1）可得：f（x）=(−2x+1)/(2x+1+2)=(1)/(2x+1)−(1)/(2)．
∀x₁＜x₂，则2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=(1)/(2x1+1)−(1)/(2)−((1)/(2x2+1)−(1)/(2))=(2x2−2x1)/((2x1+1)(2x2+1))＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=3(t−(1)/(3))2−(1)/(3)，任意的t∈R恒成立．
∴k＜−(1)/(3)．
因此k的取值范围是k＜−(1)/(3)．