已知函数f（x）=m•2x+2•3x，m∈R．（1）当m=-9时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围；（3）若存在m使f（x）≤ax对任意的x∈R恒成立

Question

已知函数f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）当m=-9时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若f(x)≤((9)/(2))x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围；
（3）若存在m使f（x）≤a^x对任意的x∈R恒成立，其中a为大于1的正整数，求a的最小值．

Answer 1

（1）当m=-9时，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
∵f（x+1）＞f（x）
∴-9•2^x+1+2•3^x+1＞-9•2^x+2•3^x，
即4•3^x＞9•2^x，即((3)/(2))x＞((3)/(2))2
∴x＞2；
（2）∵f(x)≤((9)/(2))x对任意的x∈R恒成立，
∴m•2^x+2•3^x≤((9)/(2))x对任意的x∈R恒成立，
不等式两边同时除以2^x得((9)/(4))x≥2×((3)/(2))x+m
令t=((3)/(2))x＞0，则t²-2t-m≥0即m≤t²-2t=（t-1）²-1对于任意正实数t恒成立
∴m≤-1；     
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（(9)/(2)）^x对任意的x∈R恒成立，
取x=1代入f（x）得m×2¹+2×3¹≤a¹，化简：a≥6+2m≥4
所以a的最小整数值为4．