已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+2是奇函数．（1）求b的值；（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Question

已知定义域为R的函数f（x）=(−2x+b)/(2x+1+2)是奇函数．
（1）求b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+2是奇函数．∴f（0）=−1+b4=0，解得b=1．（2）由（1）可得：f（x）=−2x+12x+1+2=12x+1−12．∀x1＜x2，则2x2＞2x1＞0，∴f（x1）-f（x2）=12x1+1−12−(12x2+1−12)=2x2...