有四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）2；④y=sin2x-cos2x；其中在(0，π2)上不是单调函数的是（）A．①和④B．②和③C．①和③D．②和④

Question

有四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）²；④y=sin²x-cos²x；其中在(0，(π)/(2))上不是单调函数的是（　　）

A．①和④
B．②和③
C．①和③
D．②和④

Answer 1

对于①，y=sinx+cosx=√(2)（sinxcos(π)/(4)+cosxsin(π)/(4)）=√(2)sin（x+(π)/(4)），
∵当x∈(0，(π)/(2))时，x+(π)/(4)∈((π)/(4)，(3π)/(4))，
∴函数y=sinx+cosx在(0，(π)/(4))上为增函数，在((π)/(4)，(π)/(2))上为减函数，
故y=sinx+cosx在(0，(π)/(2))上不是单调函数；
对于②，y=sinx+cosx=√(2)（sinxcos(π)/(4)-cosxsin(π)/(4)）=√(2)sin（x-(π)/(4)），
∵当x∈(0，(π)/(2))时，x-(π)/(4)∈(−(π)/(4)，(π)/(4))，
∴函数y=sinx+cosx在(0，(π)/(2))上为单调增函数；
对于③，y=（sinx+cosx）²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+sin2x，
∵当x∈(0，(π)/(2))时，2x∈（0，π），
∴函数y=（sinx+cosx）²在(0，(π)/(4))上为增函数，在((π)/(4)，(π)/(2))上为减函数，
故y=（sinx+cosx）²在(0，(π)/(2))上不是单调函数；
对于④，y=sin²x-cos²x=-cos2x=sin（2x-(π)/(2)），
∵当x∈(0，(π)/(2))时，2x-(π)/(2)∈（-(π)/(2)，(π)/(2)），
∴函数y=（sinx+cosx）²在(0，(π)/(2))上为单调增函数．
综上所述，只有①③的函数在(0，(π)/(2))上不是单调函数．
故选：C