已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1,F2,其半焦距为c,圆M的方程(x-5c/3)^2+y^2=16c^2/9(1)若P是圆M上的任意一点,求证PF1:PF2为定值（2）若椭圆经过圆上一点Q,且cos∠F1QF2=11/16,求离心率（3

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1,F2,其半焦距为c,圆M的方程(x-5c/3)^2+y^2=16c^2/9
(1)若P是圆M上的任意一点,求证PF1:PF2为定值
（2）若椭圆经过圆上一点Q,且cos∠F1QF2=11/16,求离心率
（3）在（2）条件下,若OQ=根号31/3,求圆M方程

Answer 1

（Ⅰ）设),(yxP是圆M上的任意一点,则 分44)35(916)()35(916)()()(22222222222221⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−−+−−−++=+−++=cxccxcxccxycxycxPFPF 分定值5)(221⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴PFPF （Ⅱ）在△,23,2,2212121mamQFmQFQcFFQFF====则设在圆上点中,分离心率为得分　由即1021,4,4948,cos2244.32222221222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∴=∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅⋅−+==aceacmcQFFmmmmcam 分所求圆方程为分解得分）（16.916)35(,1432114,34,916,16112249314,cos2412,22222221212221221⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅