设F1F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的左右焦点,过f2的直线l与椭圆c交于AB两点,直线L的倾斜角为60°F1到直线l的距离为2倍跟31,求椭圆C的焦距2,如果AF2=2F2B,求椭圆C的方程

Question

设F1F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的左右焦点,过f2的直线l与椭圆c交于A B 两点,直线L的倾斜角为60° F1到直线l的距离为2倍跟3
1,求椭圆C的焦距
2,如果AF2=2F2B,求椭圆C的方程

Answer 1

1.由平面几何知识,丨F₁F₂丨＝d/sin60°＝2√3/(√3/2)＝4
　　　所以椭圆C的焦距是4.
　　2.由丨F₁F₂丨＝2c＝4,得c＝2.
　　　根据椭圆第二定义,设焦准距p＝b²/c,离心率e＝c/a,
　　　则p+丨AF₂丨cos60°＝丨AF₂丨/e,解得丨AF₂丨＝ep/(1-e/2)
　　　同理有丨F₂B丨＝ep/(1+e/2)
　　　由丨AF₂丨/丨F₂B丨＝(2+e)/(2-e)＝2得e＝2/3＝c/a＝2/a,解得a＝3,故b＝√(a²-c²)＝√5.
　　　椭圆C方程：x²/9+y²/5＝1.