如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R

Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R ₁ 、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R ₂ ，已知R ₁ ＝12R，R ₂ ＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，高平行轨道中够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v ₁ ，下落到MN处的速度大小为v ₂ 。
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R ₂ 上的电功率P ₂ 。
（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v ₃ ，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。

Answer 1

（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落r/2时，导体棒在策略与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得
mg－BIL＝ma，式中l＝ r
，式中 ＝4R
由以上各式可得到
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即
，式中
解得
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有
得
此时导体棒重力的功率为
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即 ＝
所以 ＝
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为 ，此时安培力大小为
由于导体棒ab做匀加速直线运动，有
根据牛顿第二定律，有F＋mg－F′＝ma
即
由以上各式解得