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(2014•临沂三模)已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点,点N是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PM|=m|PN|,当m取得最大值时,点P恰在以M、N为焦点的双曲线上,则该双曲线的实轴长为(
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(2014•临沂三模)已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点,点N是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PM|=m|PN|,当m取得最大值时,点P恰在以M、N为焦点的双曲线上,则该双曲线的实轴长为( )
A. 2(
-1)
B. 4(
-1)
C. 2(
+1)
D. 4(
+1)
A. 2(
2 |
B. 4(
2 |
C. 2(
2 |
D. 4(
2 |
▼优质解答
答案和解析
过P作准线的垂线,垂足为B,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
∵|PM|=m|PN|,
∴|PM|=m|PB|
∴
=
,
设PM的倾斜角为α,则sinα=
,
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-2,代入x2=8y,可得x2=8(kx-2),
即x2-8kx+16=0,
∴△=64k2-64=0,
∴k=±1,
∴P(4,4
),
∴双曲线的实轴长为PM-PN=
-(4
+2)=4(
-1).
故选:B.
∵|PM|=m|PN|,
∴|PM|=m|PB|
∴
1 |
m |
|PB| |
|PM| |
设PM的倾斜角为α,则sinα=
1 |
m |
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-2,代入x2=8y,可得x2=8(kx-2),
即x2-8kx+16=0,
∴△=64k2-64=0,
∴k=±1,
∴P(4,4
2 |
∴双曲线的实轴长为PM-PN=
14+(4
|
2 |
2 |
故选:B.
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