已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（-2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB=90°，则k=（）A.2B.22C.12D.2

Question

已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，点 M（-2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于 A，B两点，若∠AMB=90°，则k=（　　）

A.

√(2)

B.

(√(2))/(2)

C.

(1)/(2)

D. 2

Answer 1

抛物线焦点F（2，0），设直线AB的方程为y=k（x-2），
联立方程组

y2=8x

y=k(x-2)

，消元得k²x-（4k²+8）x+4k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4+(8)/(k2)，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=(8)/(k)，y₁y₂=-16．
∵∠AMB=90°，∴k_AM•k_BM=-1，即(y1-2)/(x1+2)•(y2-2)/(x2+2)=-1．
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+4+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0．
∴-16-(16)/(k)+4+4+2（4+(8)/(k2)）+4=0，整理得：k²-4k+4=0，
解得k=2．
故选：D．