在直角坐标系中,抛物线y=ax平方+bx+c(a不等于0)与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的直线y=x-1交抛物线于点M、N两点,过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.（1）求此抛物线

Question

在直角坐标系中,抛物线y=ax平方+bx+c(a不等于0)与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的
直线y=x-1交抛物线于点M、N两点,过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时,线段PQ最长,最长为多少?
（3）设E为线段OC上的三等分点,若以E为圆心的圆同时经过P、Q两点,求点P的坐标.
（1）题答案为y=-（x-1）平方+4 D（1,4）
（2）题答案为P在MN上行至x轴1/2处时,PQ最长为17/4
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此题已关

Answer 1

1）设y=a(x+1)(x-3),把C（0,3）代入得a=-1,所以y=-x²+2x+3.顶点坐标为（1,4）；2）,设p(x,x-1),因为PQ平行于y轴,且Q在抛物线上,所以Q（x,-x²+2x+3),PQ=-x²+2x+3-x+1,=-x²+x+4=-（x-1/2）²+17/4,所以当x=1/2时,PQ有最大值,最大值为17/4；3）,设P（x,x-1),Q(x,-x²+2x+3),E(0,2),因为PQ在以E为圆心的圆上,所以PE=QE,得x²+（x-3)²=x²+（-x²+2x+1)²,即（x²-x-4)(x²-3x+2)=0,解得x1=1,x2=2,x3=（1+根17）/2,x4=(1-根17)/2..显然x.3,x4是直线y=x-1与抛物线的交点,所以x1,x2是P点的横坐标,故P（1,0）,P（2,1）.