如图,抛物线y=ax²+bx+c(a>0交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标为（8,0）抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于AB两点,交Y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标为（8,0）,tan角ABC=1/2,△ABC

Question

如图,抛物线y=ax²+bx+c(a>0交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标为（8,0）
抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于A B两点,交Y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标为（8,0）,tan角ABC=1/2,△ABC面积为8
（1）求抛物线的解析式
（2）若直线EF‖X轴,从C开始,以每秒一个单位长度向X轴平移,与X轴重合时结束,并且交Y轴、线段BC于点E、F.动点P同时从B点以每秒2个长度单位的速度向原点O运动,运动到O结束.连接FP,设运动时间为t秒.问：当t取和值时,1/EF+1/OP的值最小,并求出最小值.
（3）在满足（2）的条件下,存在几个t值,使得点P,B,F构成直角三角形；若存在,请直接写出t的值

Answer 1

（1）在Rt△ABC中,∵B点坐标为（8、0）,tan∠ABC=1 2 ,
∴OB=8,
而tan∠ABC=OC OB =1 2 ,
∴OC=4,
∴C（0,4）,
又∵△ABC的面积为8,
∴8=1 2 ×4×OA,
∴OA=4,
∴A（4,0）,
依题意得 0=16a+4b+c 0=64a+8b+c 4=c ,
解之得：a=1 8 ,b=-3 2 ,c=4,
∴y=1 8 x 2 -3 2 x+4；
（2）存在,根据（1）得BA=4,AC=4 2 ,BC=4 5 ,
依题意得：BP=2t,BF=4 5 - 5 t
由△BPF∽△BAC得4 5 - 5 t 4 5 =2t 4 ,得t1=4 3
由△BPF∽△BCA得4 5 - 5 t 4 =2t 4 5 化简,t 2 =20 7
所以：t1=4 3 ,t 2 =20 7 ；
（3）根据（2）得BP=2t,MF∥AP,
又直线AC经过A（4,0）,C（0,4）,那么其解析式为：y=-x+4,
而动直线EF（EF∥x轴）,从C点开始,以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移,与X轴重合时结束,并且分别交y轴、线段CB于E、F两点,AC与EF交于点M,M的纵坐标为4-t,
∴M的横坐标为t,
而EF：OB=CE：OC,
∴EF=2t,
∴MF=2t-t=t,
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形,那么MF=AP,
∴t=8-4-2t=4-2t,
∴t=4 3 ；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形,那么AM=PF,
∴t=2,
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形,
那么AP重合,
∴t=24 5 ．