设过点c(0,1)的椭圆x2╱a2+y2╱b2=1(a>b>0)的离心率e为根号3╱2,椭圆与x轴交于两点啊A(a,0)B(—a,0)过点c的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.（1）当直线l过椭圆的右焦

Question

设过点c(0,1)的椭圆x2╱a2+y2╱b2=1(a>b>0)的离心率e为根号3╱2,椭圆与x轴交于两点啊A(a,0)B(—a,0)
过点c的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.（1）当直线l过椭圆的右焦点时,求线段CD的长.（2）当点P异于点B时,求证：向量OP乘向量OQ为定值.

Answer 1

原题是：设过点C(0,1)的椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e为(√3)/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0).过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆的右焦点时,求线段CD的长.
(2)当点P异于点B时,求证：向量OP和向量OQ的数量积定值.
(1) 由题 b=1,c/a=(√3)/2 ,a^2=b^2+c^2
得 a=2,b=1,c=√3
椭圆方程 x^2/4+y^2=1 右焦点(√3,0)
直线l方程：x+(√3)y-√3=0 它与 x^2/4+y^2=1
联立可求得交点D(8(√3)/7,-1/7)
所以|CD|=16/7
(2) 设椭圆上D(2u,v) (u≠-1,v≠1) 则u^2+v^2=1 u^2=1-v^2
CD的方程:(1-v)x+2u(y-1)=0
令y=0 可得P(2u/(1-v),0)
BD的方程:vx-2(u+1)y+2v=0
AC的方程:x+2y-2=0
可求得Q的横坐标是:2(u-v+1)/(u+v+1)
向量OP·向量OQ
=(2(u-v+1)/(u+v+1))*(2u/(1-v))
=4(u^2-uv+u)/((u+v+1)(1-v))
=4(1-v^2-uv+u)/((u+v+1)(1-v))
=4(1-v)(1+v+u)/((u+v+1)(1-v))
=4
所以 向量OP·向量OQ 是定值.
希望对你有点帮助!