如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．

Question

如图，已知线段AB，P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），点O是AB的中点，P₂是P₁关于点O的对称点．求证：P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

Answer 1

证明：设AB=2，
∵P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），
∴AP₁=(√(5)−1)/(2)×2=√(5)-1，
∴P₁B=2-（√(5)-1）=3-√(5)，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP₁=1-（3-√(5)）=√(5)-2，
∵P₂是P₁关于点O的对称点，
∴P₁P₂=2（√(5)-2）=2√(5)-4，
∴P₂B=2

作业帮用户 2016-12-10 举报

问题解析

设AB=2，根据黄金分割的定义得AP₁=(√(5)−1)/(2)AB=√(5)-1，则P₁B=3-√(5)，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP₁=√(5)-2，由于P₂是P₁关于点O的对称点，则P₁P₂=2√(5)-4，可计算出P₂B=√(5)-1，然后同过计算得到P₁B²=14-6√(5)，P₂B•P₁P₂=14-6√(5)，即P₁B²=P₂B•P₁P₂，所以P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

名师点评

本题考点：

黄金分割．

考点点评：

本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=(√(5)−1)/(2)AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

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