（Ⅰ）设函数f（x）在点x0处满足f″（x0）=0，f‴（x0）≠0，证明点（0，f（0））为曲线y=f（x）的拐点．（Ⅱ）若函数f（x）在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f′（0）=0，limx→0f′(x)+f″

Question

（Ⅰ）设函数f（x）在点x₀处满足f″（x₀）=0，f‴（x₀）≠0，证明点（0，f（0））为曲线y=f（x）的拐点．
（Ⅱ）若函数f（x）在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f′（0）=0，

lim

x→0

(f′(x)+f″(x))/(ln(1+x))=1，判别点（0，f（0））是否是曲线y=f（x）的拐点．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵f″（x₀）=0，f‴（x₀）≠0，
不妨设f‴（x₀）>0
而f″′(x0)=

lim

x→x0

(f″(x)-f″(x0))/(x-x0)=

lim

x→x0

(f″(x))/(x-x0)
∴∃δ>0，∀x∈（x₀-δ，x₀），有(f″(x))/(x-x0)>0，即f″′（x）<0；
∀x∈（x₀，x₀+δ），有(f″(x))/(x-x0)>0，即f″′（x）>0
这说明f（x）在x=x₀的两侧，二阶导数符号改变
∴点（0，f（0））为曲线y=f（x）的拐点
（Ⅱ）∵x→0时，ln（1+x）～x
∴由

lim

x→0

(f′(x)+f″(x))/(ln(1+x))=1，及f（x）在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，f′（0）=0，知

lim

x→0

[f′(x)+f″(x)]=f′(0)+f″(0)=f″(0)=0
而

lim

x→0

(f′(x)+f″(x))/(ln(1+x))=

lim

x→0

(f″(x)+f″′(x))/(1)=f″(0)+f″′(0)
∴f″′（0）=1≠0
∴由（I）知，点（0，f（0））是否是曲线y=f（x）的拐点．