已知函数f（x）=x+1x．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）证明：f（x）在区间[1，+∞]上是增函数；（4）求函数f（x）在区间[2，3]上的值域．

Question

已知函数f（x）=x+(1)/(x)．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明：f（x）在区间[1，+∞]上是增函数；
（4）求函数f（x）在区间[2，3]上的值域．

Answer 1

（1）定义域为：{x|x≠0}；
（2）f（-x）=-x-(1)/(x)=-f(x)；
∴该函数为奇函数；
（3）证明：设x₁>x₂≥1，则：f(x1)-f(x2)=x1+(1)/(x1)-x2-(1)/(x2)=(x1-x2)(1-(1)/(x1x2))；
∵x₁>x₂≥1；
∴x₁-x₂>0，x₁x₂>1；
∴1-(1)/(x1x2)>0；
∴f（x₁）>f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（4）由上面知，f（x）在[2，3]上单调递增；
∴f（x）的值域为[f（2），f（3）]=[(5)/(2)，(10)/(3)]．