已知函数fx=lnx,gx=二分之一ax的平方加bx,若a=-2,函数hx=fx-gx在其定义域内是曾函数,求b的取值范围

Question

已知函数fx=lnx,gx=二分之一ax的平方加bx ,若a=-2,函数hx=fx-gx在其定义域内是曾函数,求b的取值范围

Answer 1

由已知函数f(x) = lnx,定义域x > 0；
函数g(x) = ax2/2+ bx,若a = -2,那么g(x) = -x2+ bx ；
所以函数h(x) = f(x) –g(x) = lnx – (-x2 + bx) = lnx + x2 – bx ,定义域x > 0,求导可得h ’(x) = 1/x+ 2x – b,因为函数h(x)在x > 0上是增函数,所以h ’(x) = 1/x+ 2x – b,在x > 0恒大于等于0,即1/x + 2x – b≥ 0,移项可得b ≤ 1/x +2x,记p(x) = 1/x + 2x,那么b ≤ p(x)在x > 0上的最小值.
因为p(x) ≥ 2√[(1/x)*2x] = 2√2,（当且仅当1/x= 2x,即1 = 2x2 ,即x2= 1/2,即x = √2/2时取等号）所以p(x)在x > 0上的最小值为2√2,所以b ≤ 2√2 ；
综上所述,实数b的取值范围是(-∞,2√2] .