利用函数的单调性定义证明函f(x)＝xx−1，x∈[2，4]是单调递减函数，并求函数的值域．

Question

利用函数的单调性定义证明函f(x)＝(x)/(x−1)，x∈[2，4]是单调递减函数，并求函数的值域．

Answer 1

证明：在[2，4]上任x₁，x₂．x₁＜x₂，f（x₁）=(x1)/(x1−1)，f（x₂）=(x2)/(x2−1)
∴f(x1)−f(x2)＝(x1)/(x1−1)−(x2)/(x2−1)=(x2−x1)/((x1−1)(x2−1))
∵2≤x₁＜x₂≤4，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是在[2，4]上的减函数
当x=2时函数取最大值2，当x=4时函数取最小值(4)/(3)
 因此，函数的值域[(4)/(3)，2]．