求助,关于三角函数的公式问题Question1.sinx2cosx2=-1/4(sin2x)2?为什么?依据哪个公式?2.1-1/4(sin2x)2=7/8+1/8cos4x?为什么?依据哪个公式?3.f（x）=max{sinx,cosx,(sinx+cosx)/2}的最大值和最小值之和（说明

Question

求助,关于三角函数的公式问题
Question1. sinx2cosx2=-1/4(sin2x)2 ?为什么?依据哪个公式?
2. 1-1/4(sin2x)2=7/8+1/8cos4x ?为什么?依据哪个公式?
3. f（x）=max{sinx,cosx,(sinx+cosx)/2}的最大值和最小值之和（说明最重要,请附上一定的解释,谢谢）

Answer 1

公式：2sinxcosx=sin(2x)
证明：sin(2x)=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
于是：(sinx)^2(cosx)^2=(sinxcosx)^2=(1/2sin2x)^2=1/4(sin2x)^2
2,1-1/4(sin2x)^2=1-1/4(1-cos(4x))/2=1-1/8+1/8cos(4x)=7/8+1/8cos4x
这里用到：(sinx)^2=(1-cos2x)/2这个公式.
3.f(x)=max{sinx,cosx,(sinx+cosx)/2} =max{sinx,cosx,sin(x+pai/4)}你的题目有误,应是
f(x)=max{sinx,cosx,(sinx+cosx)/根号2} =max{sinx,cosx,sin(x+pai/4)}
这题我做过.
请画出y=sinx y=cosx y=sin(x+pai/4)的图象!
看图可知：当xE[2kpai-3pai/4,2kpai+pai/8]时,最大是cosx 此时,f(x)=1+cos(-3pai/4)=1-根号2/2
当xE[2kpai+pai/4,2kpai+3pai/4]时,最大是sin(x+pai/4) ,此时f(x)=1+sin(pai/8)=1+[√(2-√2)]/2
其中：sinpai/8按下式计算：而
cos(π/4)=1-2sin²(π/8)
2sin²(π/8)=1-cos(π/4)
sin(π/8)=√{[1-cos(π/4)]/2}
=√[(1-√2/2)/2]
=√[(2-√2)/4]
=[√(2-√2)]/2
当xE[2kpai+3pai/4,2kpai+5pai/4]时,最大是sinx 此时,f(x)=1+sin(5pai/4)=1-根号2/2
以上从-3pai/4到5pai/4刚好是2pai,一个周期：
1-根号2/2 xE[2kpai-3pai/4,2kpai+pai/8] kEZ
f(x)= 1+[√(2-√2)]/2 xE[2kpai+pai/8,2kpai+3pai/8]
1-根号2/2 xE[2kpai+3pai/8,2kpai+5pai/4]