若f（x）在[0，+∞）上连续，limx→+∞f（x）=A存在，求证：f（x）在[0，+∞）上一致连续．由此说明当f（x）=x2005ex，x∈[0，+∞]时，f（x）在[0，+∞）上是一致连续的．

Question

若f（x）在[0，+∞）上连续，

lim

x→+∞

f（x）=A存在，
求证：f（x）在[0，+∞）上一致连续．由此说明当f（x）=(x2005)/(ex)，x∈[0，+∞]时，f（x）在[0，+∞）上是一致连续的．

Answer 1

∀ɛ>0，
因为

lim

x→+∞

f（x）=A存在，
利用函数极限的定义可得，
对于已经取定的ɛ，∃M>0，当x>M时，
|f（x）-A|<(1)/(2)ɛ．
所以，
（a）当x₁，x₂>M时，
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）-A|+|f（x₂）-A|<(1)/(2)ɛ+(1)/(2)ɛ=ɛ；
（b）当x₁，x₂<M+1时，
由于f（x）在[0，M+1]上连续，故一致连续，
即：存在δ₁>0，当|x₁-x₂|<δ₁时，
|f（x₁）-f（x₂）|<ɛ．
取δ=min（δ₁，1），则当|x₁-x₂|<δ时，
必有（a）或（b）成立，
所以|f（x₁）-f（x₂）|<ɛ．
因此，
f（x）在[0，+∞）上是一致连续的．
利用洛必达法则计算可得，

lim

x→+∞

(x2005)/(ex)=

lim

x→∞

(2005x2004)/(ex)=…=

lim

x→∞

(2005!)/(ex)=0．
又因为f（x）=(x2005)/(ex)在[0，+∞）上连续，
故利用已证结论可得，f（x）在[0，+∞）上一致连续．