设a1,a2,L,an为两两不相同的整数,证明：f(x)=(x-a1)(x-a2)*L(x-an)-1在有理数域不可约.能顺便说说计算过程么?

Question

设a1,a2,L,an为两两不相同的整数,证明：f(x)=(x-a1)(x-a2)*L(x-an)-1在有理数域不可约.
能顺便说说计算过程么?

Answer 1

用反证法, 假设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x), h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理, 不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入a[1], a[2],..., a[n], 可知g(a[k])h(a[k]) = f(a[k]) = -1, 对k = 1, 2,..., n.
而g(a[k])与h(a[k])都是整数,可知g(a[k])和h(a[k])只能是±1.
且g(a[k]) = 1时h(a[k]) = -1, 而g(a[k]) = -1时h(a[k]) = 1.
因此总有g(a[k])+h(a[k]) = 0, 对k = 1, 2,..., n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根, 但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0, 但这与g(x), h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.