已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，若点F关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是．

Question

已知双曲线C： (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左焦点为F，若点F关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是___．

Answer 1

设F（-c，0），渐近线方程为y=(b)/(a)x，
对称点为F'（m，n），
即有(n)/(m+c)=-(a)/(b)，
且(1)/(2)•n=(1)/(2)•(b(m-c))/(a)，
解得m=(b2-a2)/(c)，n=-(2ab)/(c)，
将F'（(b2-a2)/(c)，-(2ab)/(c)），即（(c2-2a2)/(c)，-(2ab)/(c)），
代入双曲线的方程可得((c2-2a2)2)/(c2a2)-(4a2b2)/(c2b2)=1，
化简可得(c2)/(a2)-4=1，即有e²=5，
解得e=√(5)．
故答案为：√(5)．