设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度为φ（x，y）=c，0＜x＜1，0＜y＜x0，其它（1）求常数c；（2）求X与Y的边缘密度φX（x），φY（y）；（3）问X与Y是否独立？为什么？（4）求Z=X+Y的

Question

设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度为φ（x，y）=

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

（1）求常数c；    
（2）求X与Y的边缘密度φ_X（x），φ_Y（y）；
（3）问X与Y是否独立？为什么？
（4）求Z=X+Y的密度φ_Z（z）；   
（5）求D（2X-3Y）．

Answer 1

（1）∵1＝

∫∫

D

φ(x，y)dxdy=

∫

10

dx

∫

x0

cdy＝(c)/(2)
∴c=2
（2）∵φ（x，y）=

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

且φX(x)＝

∫

+∞−∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞−∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞−∞

φ(x，y)dy=

∫

x0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=

2x	，0＜x＜1
0	，其它

φY(y)＝

∫

+∞−∞

φ(x，y)dx=

∫

1y

2dx＝2(1−y)

，0＜y＜1

0

，其它

=

2(1−y)	，0＜y＜1
0	，其它

（3）由（2）知φX(x)＝

2x	，0＜x＜1
0	，其它

，φY(y)＝

2(1−y)	，0＜y＜1
0	，其它

∴当0＜x＜1，0＜y＜x时，φ_X（x）φ_Y（y）=4x（1-y）≠2=φ（x，y）
∴X与Y不独立；
（4）∵φ_Z（z）=

∫

+∞−∞

φ(x，z−x)dx=

∫

z(z)/(2)

2dx

，0＜z＜1

∫

1(z)/(2)

2dx

，1＜z＜2

0

，其它

=

z	，0＜z＜1
2−z	，1＜z＜2
0	，其它

（5）∵EX＝

∫

10

2x2dx＝(2)/(3)，EX2＝

∫

10

2x3dx＝(1)/(2)
EY＝

∫

10

2y(1−y)dy＝(1)/(3)，EY2＝

∫

10

2y2(1−y)dx＝

作业帮用户 2017-10-10 举报

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