设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度为φ（x，y）=c，0＜x＜1，0＜y＜x0，其它（1）求常数c；（2）求X与Y的边缘密度φX（x），φY（y）；（3）问X与Y是否独立？为什么？（4）求Z=X+Y的

Question

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

（1）求常数c；    
（2）求X与Y的边缘密度φ_X（x），φ_Y（y）；
（3）问X与Y是否独立？为什么？
（4）求Z=X+Y的密度φ_Z（z）；   
（5）求D（2X-3Y）．

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

c，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

c，0＜x＜1，0＜y＜xc，0＜x＜1，0＜y＜x0，其它0，其它

<sub>XY

Z</sub>

Answer 1

（1）∵1＝

∫∫

D

φ(x，y)dxdy=

∫

1 0

dx

∫

x 0

cdy＝(c)/(2)
∴c=2
（2）∵φ（x，y）=

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

且φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

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∫∫

D

∫∫∫∫∫∫DDDφ(x，y)dxdy=

∫

1 0

dx

∫

x 0

cdy＝(c)/(2)
∴c=2
（2）∵φ（x，y）=

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

且φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)

∫

1 0

∫

1

0

∫∫

1

0

1

1

0

0dx

∫

x 0

∫

x

0

∫∫

x

0

x

x

0

0cdy＝(c)/(2)ccc222
∴c=2
（2）∵φ（x，y）=

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

且φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

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2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

2，0＜x＜1，0＜y＜x

0，其它

2，0＜x＜1，0＜y＜x2，0＜x＜1，0＜y＜x2，0＜x＜1，0＜y＜x0，其它0，其它0，其它
且φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) X(x)＝

∫

+∞ −∞

∫

+∞

−∞

∫∫

+∞

−∞

+∞

+∞

−∞

−∞φ(x，y)dy和φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) φY(y)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) Y(y)＝

∫

+∞ −∞

∫

+∞

−∞

∫∫

+∞

−∞

+∞

+∞

−∞

−∞φ(x，y)dx
∴φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) φX(x)＝

∫

+∞ −∞

φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) X(x)＝

∫

+∞ −∞

∫

+∞

−∞

∫∫

+∞

−∞

+∞

+∞

−∞

−∞φ(x，y)dy=

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

∫

x 0

2dy＝2x

，0＜x＜1

0

，其它

∫

x 0

2dy＝2x，0＜x＜1

∫

x 0

2dy＝2x

∫

x 0

∫

x

0

∫∫

x

0

x

x

0

02dy＝2x，0＜x＜1，0＜x＜10，其它00，其它，其它=√(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议) √(作业帮用户2017-11-05举报扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)

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