如图1，已知一次函数y=-34x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=12OB．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交

Question

如图1，已知一次函数y=-(3)/(4)x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=(1)/(2)OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=(1)/(2)∠ABC；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，-(3)/(4)x+6=0，解得x-8，即A（8，0）；
由OC=(1)/(2)OB，得OC=3，即C（-3，0）；
设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得

-3k+b=0

b=6

，解得

k=2

b=6

，
直线BC的函数表达式y=2x+6；
（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，
∴∠FCA=(1)/(2)∠BCA，∠FAE=(1)/(2)∠BAE．
∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，
∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．
∴(1)/(2)∠ABC+(1)/(2)∠BCA=∠F+(1)/(2)∠BCA，
(1)/(2)∠ABC=∠F；
（3）当AB=AP=10时，8-10=-2，P₁（-2，0），
8+10=18，P₂（18，0）；
当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P₃（-8，0）；
设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP²=AP²，即（8-a）²=a²+6²
化简，得16a=28，解得a=(7)/(4)，
P₄（(7)/(4)，0），
综上所述：P₁（-2，0），P₂（18，0），P₃（-8，0）；P₄（(7)/(4)，0）．