如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，ΔABO为正三角形．(1)若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；(2)若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

Question

如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，ΔABO为正三角形．
(1)若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；
(2)若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

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Answer 1

【分析】(1)根据ΔABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．
(2)利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据ΔABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．

(1)∵ΔABO为正三角形
∴∠BOA=60°
∵点A的坐标为
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos(∠AOC+60°)=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=；
(2)由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin(-)，
AB=OB=1，CD=2，
∴=，0<x
∴当x=时，y_max=5

【点评】本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．