椭圆x^2/6+y^2/2=1,已知定点E(-1,0)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于CD两点问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

Question

椭圆x^2/6+y^2/2=1,已知定点E(-1,0)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于CD两点
问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

Answer 1

很想告诉你解析几何……还是椭圆……的题目零分想让人解答难度还是有的,何况貌似题有点水,大虾们都看不起呀!还是我这个菜鸟来给你解答吧!
y=kx+2 ; x^2/6+y^2/2=1 两式,联立解解解,解出来得到方程:
( 3 * k^2 + 1 ) * x^2 + ( 12 * k ) * x + 6 = 0
然后伟达定理可得:
x1 * x2 = 6/(3*k^2+1)
x1 + x2 = - (12 * k)/(3*k^2+1)
由题意,设存在k满足,则有两个点 C:(x1,y1)和 D:(x2,y2),且CE垂直于DE
即 K(CE)*K(DE)= -1
列出等式：[ y1/(x1 + 1) ]*[ y2/(x2 + 1) ]= -1
再把y1 = k * x1 + 2 ; y2 = k * x2 + 2 代入上式,得到下式
(1 + k^2)* (x1 * x2) + (2 * k + 1)*(x1 + x2) + 5 = 0
把x1 * x2 = 6/(3*k^2+1) ； x1 + x2 = - (12 * k)/(3*k^2+1)
代入得到一个只包含k的分式:(11 - 3 * k^2 - 12 * k)/(3 * k^2 + 1)=0
由于分子一定不等于零,所以只需满足分母等于零即可
此为一元二次方程,有解,所以存在k的值,使以CD为直径的圆过E点