已知抛物线P:y平方=x,直线AB与抛物线P交与A,B两点,OA垂直OB,向量OA+OB=向量OC,OC与AB交与点M1求M的轨迹方程2求AOBC的面积最小值

Question

已知抛物线P:y平方=x,直线AB与抛物线P交与A,B两点,OA垂直OB,向量OA+OB=向量OC,OC与AB交与点M
1求M的轨迹方程2求AOBC的面积最小值

Answer 1

抛物线P:y²=x
设AB交x轴于T(t,0)(t≠0)
则AB方程为x=t my与y²=x联立消去x
得y²=t my即y²-my-t=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1 y2=m,y1y2=-t
∵OA垂直OB
∴向量OA●OB=0
即(x1,y2)●(x2,y2)=0
∴ x1x2 y1y2=0
∴x1x2=-y1y2=t
∵(y1y2)²=x1x2
∴t²=t,
∵t≠0 ∴t=1
即AB与x轴交于定点T(1,0)
∵向量OA OB=向量OCOC与AB交与点M
∴M是AB的中点
设M(x,y),则2y=y1 y2=m
2x=x1 x2=1 my1 1 my2=2 m(y1 y2)=2 2my
∴2x=2 2y*2y ==>2y² 1=x
即M的轨迹方程为y²=(x-1)/2
AOBC为平行四边形,面积为ΔAOB面积的2倍
S=2SΔAOB=2*1/2|OT| (|y1| |y2|)
=|y1-y2|
=(y1 y2)²-2y1y2
=m² 2≥2
m=0时,AOBC面积取得最小值2『兄弟,打这么多不容易啊,