设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√21/7,O为坐标原点 ①求椭圆C的方程 ②过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明：点O到直线AB的距离为

Question

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√21/7,O为坐标原点 ①求椭圆C的方程 ②过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明：点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值

Answer 1

e=1/2 表示a=2c b=√3c 右焦点为(c,0)到直线x/a+y/b=1的距离为|c/a+0/b-1|/√(1/a²+1/b²)=√21/7
可得 |1/2+0-1|/√[1/(4c²)+1/(3c²)]= (√21/7) c=√21/7 得c=1 a=2 b= √3
椭圆C的方程为x²/4+y²/3=1
不妨设A的横坐标大于0 ,设OA的斜率为k,则OB的斜率为-1/k,
OA所在直线为y=kx 带入椭圆C的方程为x²/4+y²/3=1 得 (3+4k²)x²=12
A点坐标 xA=12/√(3+4k²) yA=12k/√(3+4k²)
类似可求得B点作为xB=12k/√(3k²+4) y=-12/√(3+4k²)
或xB=-12k/√(3k²+4) yB=12/√(3+4k²)
剩下的自己做,我有时间再帮你