已知二次函数y=（x-1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求出A、B、C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以AC为腰

Question

已知二次函数y=（x-1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当x=0时y=（-1）×（-4）=4
∴C的坐标（0，4）
当y=0时设（x-1）（x-4）=0
解得x₁=1 x₂=4
∵A在B的左边
∴A（1，0）B（4，0）…（2分）
（2）∵C（0，4）、A（1，0）、B（4，0）
∴OC=4  AB=3
∴S_△ABC=(1)/(2)OC•AB=6 …（4分）
（3）存在．
设点P的坐标为（0，y），
由（2）知OC=4，OA=1
在RT△AOC中AC=√(0A2-0C2)=√(17)
∴C为顶角的顶点时，则CP=AC，
即|y-4|=√(17)
解得y1=4+√(17)y2=4-√(17)
∴当P为（0，4+√(17)）或（0，4-√(17)）时P、A、C组成的AC为腰的等腰△…（6分）
∴A为顶角的顶点时，则AC=AP
∵OA⊥PC
∴OC=OP  …（8分）
即|y|=4，
解得y₁=-4，y₂=4（舍去）
∴当P（0，-4）时P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…（8分）
综上所述当P的坐标为（4+√(17)），（4-√(17)），（0，-4）时是P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…（9分）