如图，点P是O上任意一点，O的弦AB所在的直线与P相切于点C，PF为O的直径，设O与P的半径分别为R和r．（1）求证：△PCB∽△PAF；（2）求证：PA•PB=2Rr；（3）若点D是两圆的一个交点，连接AD交P

Question

如图，点P是
O上任意一点，
O的弦AB所在的直线与
P相切于点C，PF为
O的直径，设
O与
P的半径分别为R和r．
（1）求证：△PCB∽△PAF；
（2）求证：PA•PB=2Rr；
（3）若点D是两圆的一个交点，连接AD交
P于点E，当R=3r，PA=6，PB=3时，求
P的弦DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC切⊙P于C，PF为⊙O的直径，
∴∠PCB=∠PAF=90°，
又∵∠CBP=∠F，
∴△PCB∽△PAF．
　　
（2）证明：∵△PCB∽△PAF，
∴(PC)/(PB)=(PA)/(PF)，
∴PA•PB=PC•PF=2Rr；
（3） 连接PD，过点P作PH⊥DE于H．
∵∠PCB=∠PHD=90°，∠CBP=∠F=∠HDP，
∴△CBP∽△HDP，
∴(PC)/(PH)=(PB)/(PD)．
∴PH•PB=PC•PD．
又∵PC=PD=r，
∴PH•PB=r²，
∴PH=(r2)/(PB)．
∵PA=6，PB=3，
由（2）知PA•PB=2Rr，
∴r=√(3)，R=3√(3)．
∴PH=(r2)/(PB)=((√(3))2)/(3)=1．
∴DH=√(PD2-PH2)=√(3)-1=√(2)，
∴DE=2√(2)．