如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°．⑴求证：CD是⊙O的切线；⑵若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r

Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°．

⑴求证：CD是⊙O的切线；
⑵若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求 的值．

Answer 1

（1）证明：连结OD、DA
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD= AB=OA
又AC=AO，∴∠ODC=90°
∴CD切⊙O于点D
（2）方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC  
∴∠C=30°
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴PE= CP
又PE=BP=R，CA=AO=OB=r
∴3r=R，即  
方法二：连结PE，
又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE
∴OD∥PE
∴ =
即  ，∴

（1）欲证：CD是⊙O的切线，只要转化为证明∠ODC=90°即可；
（2）连接PE，易证 ，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，即可得到结果．