如图，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样？请作出判断并加以证明．

Question

如图，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P与AB相切．
试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样？请作出判断并加以证明．

Answer 1

⊙O与⊙P相内切．
理由：如图：若AB与⊙P切于Q，连接PQ，
∴PQ⊥AB，
设PQ=r，AC=a，BD=b，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴AC∥DB，
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，
∴(r)/(a)=(BQ)/(AB)，(r)/(b)=(AQ)/(AB)，
∴(a−r)/(a)=(r)/(b)，
∴r=(ab)/(a+b)，
∵⊙O的半径R=(a+b)/(2)，
∴Rr=(ab)/(2)，
∴AQ=(r•AB)/(b)=(2Rr)/(b)=a，
∴OQ=(a+b)/(2)-a=(b−a)/(2)，
连接PO
则PO=√(((ab)/(a+b))2+((b−a)/(2))2)=(a2+b2)/(2(a+b))=(a+b)/(2)-(ab)/(a+b)=R-r．
∴⊙O与⊙P相内切．