（2011•南充二模）已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m＞0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原点O为PQ的中点．①求证：A、P、B三点共线；②当m=2时，是否存

Question

（2011•南充二模）已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y²=2mx（m＞0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原点O为PQ的中点．
①求证：A、P、B三点共线；
②当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，使得l′被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

①证明：由题意可设A（(y12)/(2m)，y₁）：B（(y22)/(2m)，y₂），P（4，0）．
∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角
∴tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，
即(y1)/((y12)/(2m)+4)＝−(y2)/((y22)/(2m)+4)⇒y₁y₂（y₁+y₂）=-8m（y₁+y₂）．
∵L不垂直于x轴，
∴y₁+y₂≠0，y₁y₂=-8m．
∴k_AP=(y1)/((y12)/(2m)−4)＝(2my1)/(y12−8m)=(−2m•(8m)/(y2))/((64m2)/(y22)−8m)=(2my2)/(y22−8m)，
∵k_BP=(y2)/((y22)/(2m)−4)＝(2my2)/(y22−8m)=k_AP
∴A，P，B三点共线．
②假设满足题意l^′的存在，设l^′：x=n，A（x₁，y₁），则y₁²=4x₁，
∴以AP为直径的圆心C（(x1+4)/(2)，

作业帮用户 2017-09-27 举报

问题解析

①先根据∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角得到tan∠AQP=tan∠BQP．即K_AQ=-k_BQ，从而得到点A，B之间的关系，再求出直线AP与PB的斜率即可证明结论；
②设出直线方程以及点A的坐标和以AP为直径的圆心C圆心坐标；再求出对应弦长，即可求出结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高

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