已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-4的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．（1）求抛物线y=x2-2mx+m2+m-4顶点的纵坐标随横

Question

已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-4的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．
（1）求抛物线y=x²-2mx+m²+m-4顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）若直线AP交y轴的负半轴于点E，且(CP)/(AC)=1，求△OEP的面积S的取值范围．

Answer 1

（1）由抛物线y=x²-2mx+m²+m-4可知，a=1，b=-2m，c=m²+m-4，
设顶点的坐标为（x，y），
∵x=-(b)/(2)=m，
∴b=-2m，
y=(4c-b2)/(4)=(4(m2+m-4)-(-2m)2)/(4)=m-4=x-4，
即顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为y=x-4（0<x<4）；
（2）如图，由抛物线y=x²-2mx+m²+m-4可知顶点A（m，m-4），
∵(CP)/(AC)=1，
∴(BE)/(AB)=1，
∵AB=m，
∴BE=m，
∵OB=4-m，
∴OE=4-m-m=4-2m，
∴E（0，2m-4），
设直线AE的解析式为y=kx+2m-4，
代入A的坐标得，m-4=km+2m-4，解得k=-1，
∴直线AE的解析式为y=-x+2m-4，
解

y=-x+2m-4

y=x2-2mx+m2+m-4

得

x1=m

y2=m-4

，

x2=m-1

y2=m-3

，
∴P（m-1，m-3），
∴S=(1)/(2)（4-2m）（m-1）=-m²+3m-2=-（m-(3)/(2)）²+(1)/(4)，
∴S有最大值(1)/(4)，
∴△OEP的面积S的取值范围：0≤S≤(1)/(4)．