已知抛物线抛物线y^2＝8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为R,点A是抛物线上的点,链接AF并延长交抛物线于点B.（1）若原点O到直线AR的距离为√2,求A坐标（2）点N是l上一点,点M是AB的中点,求证不论

Question

已知抛物线
抛物线y^2＝8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为R,点A是抛物线上的点,链接AF并延长交抛物线于点B.（1）若原点O到直线AR的距离为√2,求A坐标（2）点N是l上一点,点M是AB的中点,求证不论点A在抛物线上何位置,总有2MN≥AB（3）△ABR的面积是否存在最大值或最小值卩若存在,求出最值及直线AB方程；若不存在,说明理由.急!

Answer 1

（1）容易求得 F（2,0）,R（-2,0）,设 A（a ,b）,
则 AR 方程为 bx-(a+2)y+2b=0 ,
原点 O 到 AR 的距离为 |2b|/√[b^2+(a+2)^2]=√2 ,
平方得 4b^2=2(b^2+(a+2)^2) ,即 32a=2(8a+(a+2)^2) ,
解得 a=2 ,b= ±4 ,因此 A（2,-4）或 A（2,4）.
（2）过 A、B、M 分别作 L 的垂线,垂足为分别 A1、B1、M1 ,
由抛物线线定义,AF=AA1,BF=BB1,
所以 MM1=(AA1+BB1)/2=(AF+BF)/2=AB/2 ,
那么 MN>=MM1=AB/2 ,
所以 2MN>=AB .
（3）设直线 AB 方程为 x=my+2 ,
代入抛物线方程得 y^2=8(my+2) ,
因此 y^2-8my-16=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2= 8m ,y1*y2= -16 ,
因此 SABR=1/2*|RF|*(|y1|+|y2|)=2|y2-y1|=2*√[(y1+y2)^2-4y1*y2]=2√(64m^2+64) ,
所以 SABR 无最大值,
由 m^2>=0 得 SABR 的最小值为 2√64=16 ,
此时 m=0 ,直线 AB 方程为 x=2 .