（2003•绵阳）若点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做抛物线的不动点．设抛物线y=ax2+x+2经过点（-1，0）（1）求这条抛物线的顶点和不动点的坐标；（2）将这条抛物线进行平移，使其只有一个

Question

（2003•绵阳）若点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做抛物线的不动点．设抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0）
（1）求这条抛物线的顶点和不动点的坐标；
（2）将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点．证明平移后的抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上．

Answer 1

（1）已知抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0），
则有：a-1+2=0，a=-1
∴y=-x²+x+2=-（x-(1)/(2)）²+(9)/(4)
∴抛物线的顶点为（(1)/(2)，(9)/(4)）
设不动点P的坐标为（m，m），
则有：-m²+m+2=m，
解得m=±√(2)，
∴不动点（√(2)，√(2)）和（-√(2)，-√(2)）．

（2）设平移后的抛物线为y=-（x-a）²+b，
由于抛物线只有一个不动点，
因此抛物线与直线y=x只有一个交点，
即x=-（x-a）²+b，
化简得-x²+（2a-1）x-（a2-b）=0，
△=（2a-1）²-4（a²-b）=0，即4a-4b-1=0，
很明显，平移后抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上．