设A为n阶方阵，A≠0且A≠I．证明：A2=A的充分必要条件是r（A）+r（A-I）=n．

Question

设A为n阶方阵，A≠0且A≠I．证明：A²=A的充分必要条件是r（A）+r（A-I）=n．

Answer 1

证明：
先证必要性：
由A²=A⇒A（A-I）=0⇒r（A）+r（A-I）≤n，
又r（A）+r（A-I）=r（A）+r（I-A）≥r（I）=n
故r（A）+r（A-I）=n．
充分性：
设r（A）=r，0得方程组Ax=0的基础解系含n-r个向量，
即得属于特征值零的线性无关的特征向量有n-r个；
又因方程组（A-I）x=0的基础解系含r个向量，
即得属于特征值1的线性无关的特征向量有r个，
即代数重数等于几何重数，A有n个线性无关的特征向量，
所以A可对角化．
即存在可逆的P，
使P-1AP=D=

Ir	0
0	0n-r

，A=PDP-1，A2=PDP-1PDP-1=PD^P-1=PDP-1=A，
故A=A²．