曲线在矩阵的变换作用下得到曲线．（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．

Question

曲线 在矩阵 的变换作用下得到曲线 ．
（Ⅰ）求矩阵 ；
（Ⅱ）求矩阵 的特征值及对应的一个特征向量．

Answer 1

曲线 在矩阵 的变换作用下得到曲线 ．
（Ⅰ）求矩阵 ；
（Ⅱ）求矩阵 的特征值及对应的一个特征向量．

（Ⅰ）矩阵 ；（Ⅱ）矩阵 的特征值 或 ．当 时，对应的特征向量为 ；当 时，对应的特征向量为 ．

试题分析：（Ⅰ）首先设曲线 上的任一点 在矩阵 对应的变换作用下所得的点为 ，则由 可得 再由点 在曲线 上，把 代入 求得 的值，即可得矩阵 ；（Ⅱ）由 ，可得矩阵 的特征值，根据特征向量的求法，分别列出方程组，即可求得其对应的特征向量．
试题解析：（Ⅰ）设曲线 上的任一点 在矩阵 对应的变换作用下所得的点为 ，则 由点 在曲线 上，得 ， 再由 ，解得 ．3分
（Ⅱ）由 ，解得： 或 ． 5分
当 时，由 得对应的特征向量为 ；当 时，由 得对应的特征向量为 ．7分