A是二阶矩阵,特征值为1,2,求行列式|A∧2-2A∧-1+3E|,第二个题目是三阶矩阵A的特征值是1,-1,2,求A∧*+3A-2I的行列式.再请问老师,此类已知特征值求行列式的题目有没有固定的办法,比如A矩阵的伴随

Question

A是二阶矩阵,特征值为1,2,求行列式|A∧2-2A∧-1+3E|,第二个题目是三阶矩阵A的特征值是1,-1,2,求A∧*+3A-2I的行列式.再请问老师,此类已知特征值求行列式的题目有没有固定的办法,比如A矩阵的伴随矩阵或者逆矩阵和特征值有什么关系?做这些题感觉知道它们和特征值的关系以后会好解好多.

Answer 1

A 有特征值 λ,则 kA 有特征值 kλ,A^(n) 有特征值 λ^n,A^(-1) 有特征值 1/λ,
A* 有特征值 |A|/λ, |kA|=k^n|A|. |A^(-1)|=1/|A|, |A*|=|A|^(n-1).

1. 二阶矩阵A,特征值为1,2.
A^2-2A^(-1)+3 E的特征值是 1^2-2/1+3=2, 2^2-2/2+3=6,
|A^2-2A^(-1)+3E|=2*6=12.
2. 三阶矩阵A,特征值为1,1,2.
A^2+3A-2I 的特征值分别是 1^2+3*1-2=2, 2^2+3*2-2=8,
|A^2+3A-2I |=2*2*8=32.