如图，在双曲线y212-x213=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此

Question

如图，在双曲线(y2)/(12)-(x2)/(13)=1的上支上有三点A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

Answer 1

（1）c=√(12+13)=5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=(12)/(5)，离心率为e=(c)/(a)=(5)/(√(12))，
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-(12)/(5)）=y1−(12)/(5)+y3−(12)/(5)，∴y₁+y₃=12．
（2）证明：线段AC中点D（(x1+x3)/(2)，6），线段AC的斜率为 (y3 −y1)/(x3−x1)，
∴线段AC的中垂线的斜率为-(x3 −x1)/(y3−y1)，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-(x3 −x1)/(y3−y1)（x-(x1+x3)/(2)） ①，
 又A、C在双曲线上，∴(y12)/(12)−(x12)/(13)＝1，

作业帮用户 2017-09-28 举报