已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时

Question

已知双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF₂、BF₂分别交y轴于P、Q两点，若△PQF₂的周长为12，则ab取得最大值时双曲线的离心率为（　　）

A.

√(2)

B.

√(3)

C.

(2√(3))/(3)

D.

(3√(2))/(2)

Answer 1

由题意，△ABF₂的周长为24，
∵|AF₂|+|BF₂|+|AB|=24，
∵|AF₂|+|BF₂|-|AB|=4a，|AB|=(2b2)/(a)，
∴(4b2)/(a)=24-4a，∴b²=a（6-a），
∴y=a²b²=a³（6-a），∴y′=2a²（9-2a），
0<a<4.5，y′>0，a>4.5，y′>0，
∴a=4.5时，y=a²b²取得最大值，此时ab取得最大值，b=(3√(3))/(2)，
∴c=3√(3)，
∴e=(c)/(a)=(2√(3))/(3)，
故选：C．