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过双曲线x29−y2b2=1(b>0)左焦点F1的直线l与双曲线左支交于A,B两点,若|AF2|+|BF2|(F2是双曲线的右焦点)的最小值为14,则b的值是()A.1B.2C.3D.6

题目详情
过双曲线
x2
9
y2
b2
=1(b>0)左焦点F1的直线l与双曲线左支交于A,B两点,若|AF2|+|BF2|(F2是双曲线的右焦点)的最小值为14,则b的值是   (  )

A.1
B.
2

C.
3

D.
6
▼优质解答
答案和解析
根据双曲线的标准方程
x2
9
y2
b2
=1(b>0),得:a=3,
由双曲线的定义可得:|AF2|-|AF1|=2a=6…①,
|BF2|-|BF1|=2a=6…②,
①+②可得:|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=12,
∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A,B两点,
∴|AF1|+|BF1|=|AB|,当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小.
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=12.
∴|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥
2b2
3
+12=14,
∴b=
3

故选:C.