过双曲线x29−y2b2=1（b＞0）左焦点F1的直线l与双曲线左支交于A，B两点，若|AF2|+|BF2|（F2是双曲线的右焦点）的最小值为14，则b的值是（）A．1B．2C．3D．6

Question

过双曲线(x2)/(9)−(y2)/(b2)=1（b＞0）左焦点F₁的直线l与双曲线左支交于A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|（F₂是双曲线的右焦点）的最小值为14，则b的值是   （　　）

A．1
B．√(2)
C．√(3)
D．√(6)

Answer 1

根据双曲线的标准方程(x2)/(9)−(y2)/(b2)=1（b＞0），得：a=3，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
∴|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥(2b2)/(3)+12=14，
∴b=√(3)．
故选：C．