设F是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，A（a，b），P是双曲线右支上的动点.若|PF|+|PA|的最小值为3a，则该双曲线的离心率为（）A.10-1B.1+10C.1+32D.1+102

Question

设F是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左焦点，A（a，b），P是双曲线右支上的动点.若|PF|+|PA|的最小值为3a，则该双曲线的离心率为（　　）
A. √(10)-1
B. 1+√(10)
C. (1+√(3))/(2)
D. (1+√(10))/(2)

Answer 1

∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（c，0），
∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=√((a−c)2+b2)
两式相加得|PF|+|PA|≥2a+√((a−c)2+b2)，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立，
∵|PF|+|PA|的最小值为3a，
∴2a+√((a−c)2+b2)=3a，
∴√((a−c)2+b2)=a，
∴2e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=(1+√(3))/(2)．