已知椭圆x2a2+y2b2＝1的左准线为x＝−322，a＝3b，过原点O作倾角分别为30°，150°的两条直线l1，l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，点P满足AP＝λPB（λ＞0），且点P恰在双曲线x2a2−y2b2＝1上，（1

Question

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1的左准线为x＝−(3√(2))/(2)，a＝√(3)b，过原点O作倾角分别为30°，150°的两条直线l₁，l₂，点A在直线l₁上，点B在直线l₂上，点P满足

AP

＝λ

PB

（λ＞0），且点P恰在双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1上，
（1）求椭圆方程；
（2）求△OAB面积的最小值．(x2)/(a2)x2x2x2x22a2a2a2a22(y2)/(b2)y2y2y2y22b2b2b2b22x＝−(3√(2))/(2)，a＝√(3)b，过原点O作倾角分别为30°，150°的两条直线l₁，l₂，点A在直线l₁上，点B在直线l₂上，点P满足

AP

＝λ

PB

（λ＞0），且点P恰在双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1上，
（1）求椭圆方程；
（2）求△OAB面积的最小值．(3√(2))/(2)3√(2)3√(2)√(2)

2

222a＝√(3)b，过原点O作倾角分别为30°，150°的两条直线l₁，l₂，点A在直线l₁上，点B在直线l₂上，点P满足

AP

＝λ

PB

（λ＞0），且点P恰在双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1上，
（1）求椭圆方程；
（2）求△OAB面积的最小值．√(3)

3

3₁₂₁₂

AP

＝λ

PB

（λ＞0），且点P恰在双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1上，
（1）求椭圆方程；
（2）求△OAB面积的最小值．

AP

APAP

PB

PBPB(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1上，
（1）求椭圆方程；
（2）求△OAB面积的最小值．(x2)/(a2)x2x2x2x22a2a2a2a22(y2)/(b2)y2y2y2y22b2b2b2b22

Answer 1

（1）由

x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)

a＝√(3)b

a2＝b2+c2

解得a²=3，b²=1，
所以椭圆方程为(x2)/(3)+y2＝1；
（2）直线l1：y＝(√(3))/(3)x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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问题解析

（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

名师点评

本题考点：

椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，及向量的基本知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)

a＝√(3)b

a2＝b2+c2

x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)

a＝√(3)b

a2＝b2+c2

x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)

a＝√(3)b

a2＝b2+c2

x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)

a＝√(3)b

a2＝b2+c2

x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)x＝−(3√(2))/(2)＝−(a2)/(c)x＝−(3√(2))/(2)3√(2)3√(2)3√(2)

2

22222＝−(a2)/(c)a2a2a22ccca＝√(3)ba＝√(3)ba＝√(3)

3

33ba2＝b2+c2a2＝b2+c2a2＝b2+c22＝b2+c22+c22解得a²2=3，b²2=1，
所以椭圆方程为(x2)/(3)+y2＝1；
（2）直线l1：y＝(√(3))/(3)x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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(x2)/(3)x2x2x22333+y2＝1；
（2）直线l1：y＝(√(3))/(3)x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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问题解析

（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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2＝1；
（2）直线l1：y＝(√(3))/(3)x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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问题解析

（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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l1：y＝(√(3))/(3)x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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本题考点：

椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

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1：y＝(√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333x，直线l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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l2：y＝−(√(3))/(3)x，设点A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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2：y＝−(√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333x，设点A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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本题考点：

椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

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A(x1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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1，

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

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（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁和l₂的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

（1）由椭圆的准线方程，题设中a和b的关系，进而求得a，b，则椭圆的方程可得．
（2）依题意可求得直线l₁1和l₂2的方程，设出点A，B的坐标，进而表示出三角形OAB的面积，把点P代入双曲线方程求得x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．x1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．1x2＝(3(1+λ)2)/(2λ)，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．2＝(3(1+λ)2)/(2λ)3(1+λ)23(1+λ)23(1+λ)222λ2λ2λ，代入三角形面积表达式，根据均值不等式求得答案．

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本题考点：

椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

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