已知双曲线x²/a²＋y²/b²=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若｜PF1｜²/｜PF2｜的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是A.(1,√3)B.(1,2〕C.(1,+∞)D.(1,

Question

已知双曲线x²/a²＋y²/b²=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若｜PF1｜²/｜PF2｜的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,√3)B.(1,2〕C.(1,+∞)D.(1,3〕

Answer 1

由于P在右支上,所以 |PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|
所以 |PF1|²/|PF2|=(4a²+|PF2|²+4a|PF2|)/|PF2|
=4a²/|PF2| +|PF2|+4a
≥2√[(4a²/|PF2|)•|PF2|] +4a
=4a+4a=8a
当且仅当 4a²/|PF2|=|PF2|,即|PF2|=2a,|PF1|=4a时,有最小值为8a.
故对任意双曲线,都有|PF1|²/|PF2|的最小值为8a,从而 e∈(1,+∞)
选 C