求矩阵A的特征值、特征向量设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量

Question

求矩阵A的特征值、特征向量
设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量

Answer 1

易知 y^Tx = x^Ty = 2.
令B=xy^T,则
B^2 = (xy^T)(xy^T) = x(y^Tx)y^T = 2xy^T = 2B.
所以 B 的特征值只能是 0,2.
由于 r(B)=1,故 BX=0 的基础解系含n-1个解向量
B =
x1y1 x1y2 ...x1yn
x2y1 x2y2 ...x2yn
..
xny1 xny2 ...xnyn
-->
y1 y2 ...yn
0 0 ...0
......
0 0 ...0
由已知x^Ty=2,x≠0,y≠0
不妨设y1≠0,x1≠0.
则BX=0的基础解系为
α1 = (y2,-y1,0,...,0)^T
α2 = (y3,0,-y1,...,0)^T
....
αn-1 = (yn,0,0,...,-y1)^T
因为 Bx = (xy^T)x = x(y^Tx) = 2x,x≠0
所以 αn = x 是B的属于特征值2的特征向量.
由定理知,1+0=1,1+2=3 是 A=E+B 的特征值
且特征向量分别为
k1α1+...+k(n-1)α(n-1),knαn
其中 k1,...,k(n-1)不全为零,kn≠0.